Teoría de números aplicado a la Educación Secundaria (página 2)

2.8.-Función de
Möbius

La función de Möbius
μ(n), nombrada así en
honor a
August Ferdinand Möbius, es
una
función multiplicativa estudiada en
teoría
de números y en combinatoria.

Definición

μ(n) está
definida para todos los
números naturales n y tiene
valores en
{-1, 0, 1} dependiendo en la factorización de n en
sus factores
primos. Se define como sigue:

μ(n) = 1 si n
es
libre de cuadrados y tiene un
número par de factores primos distintos.

μ(n) = -1 si
n es libre de cuadrados y tiene un número impar de
factores primos distintos.

μ(n) = 0 si n
es divisible por algún cuadrado.

En principio, se supone que μ(1) = 1.

Propiedades y aplicaciones

La función de Möbius es multiplicativa, y
tiene gran relevancia en la teoría de las funciones
multiplicativas y aritméticas puesto que aparece en la
fórmula de inversión de Möbius.

Otras aplicaciones de
μ(n) en combinatoria
están relacionadas con el uso del
teorema de Polya en grupos
combinatorios.

En teoría de números, la
función de Mertens está
emparentada con la función de Möbius, y se define
como:

para todo número natural n.
Esta función está relacionada con las posiciones de
los ceros de la
función ζ de Euler-Riemann y
con la
conjetura de Riemann. Estas relaciones se
explicarán con más detalle en el artículo
sobre la
conjetura de Mertens.

2.9.-Función φ de Euler

La función φ de
Euler indica, para su parámetro
m, el número de elementos invertibles en un cuerpo
o anillo finito de dimensión m. Su valor se
corresponde igualmente con la cantidad de números primos
relativos con m menores que m.

Puede definirse como

Φ(m) = cardinal de
{n perteneciente N tal que n < m ^ mcd{m, n} = 1
}

Su cálculo
puede acelerarse conociendo las siguientes
propiedades:

Φ(p) = p – 1
si p es primo,

Φ(pe) =
pe (1 – p-1) si p es
primo y e es un número natural (ver nota),
y

Φ(ab) =
Φ(a)Φ(b)
si mcd{a, b} = 1

Demostración de las
propiedades:

Evidente, ya que si p es primo todos los
números naturales de 1 a p-1 son primos con
p.

Los únicos números números entre 1
y pe que NO son primos con pe
son los múltiplos de p, que son en total
pe-1. Por tanto
Φ(pe)=pe–pe-1,
de donde se sigue inmediatamente la propiedad.

Empezaremos probando que si p y q
son primos distintos entonces
Φ(pq)=Φ(p)Φ(q).
Los números de 1 a pq serán primos con
pq si no son múltiplos de p ni de q.
De 1 a pq-1 hay p-1 múltiplos de q y
q-1 múltiplos de p, y no hay ninguno
común a ambos, ya que
MCM(p,q)=pq.

Por tanto
Φ(pq)=pq-1-(p-1)-(q-1)=pq–p–q+1=
(p-1)(q-1)=Φ(p)Φ(q)

Para todo entero positivo n y todo entero
a relativamente primo a n, entonces:

, donde
φ(n) denota
función fi de Euler que cuenta el
número de enteros entre 1 y n que sean coprimos con
respecto a n.

Es necesario señalar que el teorema de Euler es
una consecuencia del
teorema de Lagrange, aplicado al caso del
grupo de
las
unidades del anillo .

2.10.-Factorial

Para todo n entero natural, se llama n
factorial o factorial de n al producto de
todos los enteros entre 1 y n:

n! = 1 × 2 × 3 × … ×
(n − 1) × n

n! = ∏k =
1:n k.

Se impone 0! = 1, para que la relación n!
= n × (n − 1)! sea también
válida para n = 1. Esta relación permite
definir los factoriales por recursividad.
La notación n! fue popularizada por el
matemático francés

Christian Kramp.

Los primeros factoriales son:

1! = 1
2! = 2
3! = 6
4! = 24
5! = 120
6! = 720
7! = 5040
8! = 40320
…

Los factoriales se usan mucho en la rama de la matemática
llamada combinatoria, a través del
binomio de Newton, que da los coeficientes
de la forma desarrollada de (a +
b)n:

(a + b)n =
an + n × an
− 1 × b +
Cn, 2 × an
− 2 × b2 + … +
n × a × bn
− 1 + bn

con:

Por medio de la combinatoria, los factoriales
intervienen en el cálculo de las probabilidades.
Intervienen también en el ámbito del análisis, en particular a través del
desarrollo
polinomial de las funciones (fórmula
de Taylor). Se generalizan a los
reales con la
función gamma, de gran
importancia en el campo de la aritmética.

Existe un equivalente, cuando n tiende al
infinito,
del factorial de n, dado por la
fórmula de Stirling:

n! ≈
√(2πn)
(n/e)n.

La ventaja de esta fórmula es que no precisa
inducción, y por lo tanto permite evaluar
n! más rápidamente (aunque en forma
aproximada) cuando mayor sea n.

2.11.-Números Primos

Ejemplo 7.

donde   son primos y
además  

3.
Teoría de los números en la educación
secundaria y propuestas

• ¿Qué es lo que se
  enseña?
• ¿Cómo debería enseñar
  estos temas?
• En la prueba de Pisa, sanos el penúltimo
  país en matemáticas en Educación Secundaria

3.1 PROBLEMÁTICA (INTRODUCCIÓN)

Es en la época actual, asignada por el cambio y por
muy veloces avances
tecnológicos, se percibe cada vez más
claramente la necesidad de que los conocimientos
matemáticos que reciben los escolares los permitan
reconocer la importancia del papel desempeñado por esta
disciplina en
el mundo en que viven y su poder como
herramienta para comprenderlo y desenvolverse mejor en él.
Sin embargo, para muchos estudiantes las matemáticas
consisten en una serie de rutinas que es necesario ejecutar
mecánicamente para responder a preguntas estereotipadas.
Rara vez tienen los alumnos ocasión de plantear cuestiones
de su interés y
la consecuencia de esta clase de
enseñanza y aprendizaje es
que, buena parte de ellos, son incapaces de aplicar sus
conocimientos, más allá de los cálculos y
métodos
propuestos en los libros de
texto.

Es un escenario mundial de economías abiertas y
competitivas, donde el
conocimiento da la necesidad de la productividad de
las personas, resulta muy preocupante un informe sobre los
resultados de un Estudio Internacional Comparativo de la Claridad
de la Educación, realizado por la UNESCO en 12
países de América
Latina, para evaluar el rendimiento estudiantil.

En este estudio, el sistema
educativo peruano ocupó el antepenúltimo
lugar en cursos de lenguaje y el
último en los cursos de matemática: 225
puntos y Cuba 348
puntos.

En ese sentido, en nuestro país, es común
escuchar comentarios respecto a que la escuela
secundaria no prepara eficazmente para la universidad y que
la matemática que el alumno aprende en el colegio resulta
una herramienta bastante endeble como base para los
cursos de ciencias de la
enseñanza superior; pero, ¿está el
estudiante debidamente preparado para la solución de
problemas de
aplicación matemática en situaciones cotidianas?.
Sabemos que la resolución de problemas matemáticos
es imputable porque está relacionada con muchas de las
actividades que cada día se presentan a las personas en su
desempeño en el trabajo, en
el hogar, en el consumo de
bienes, en sus
necesidades de transporte, e,
incluso, en el cumplimiento de sus obligaciones
ciudadanas, por ejemplo en el pago de impuestos, es
decir lo que podemos llamar problemas de la vida
cotidiana.

Nos interesa estudiar si, al menos, los conocimientos
que los alumnos reciten durante sus estudios secundarios son
utilizados eficazmente en los problemas de la vida diaria; es
decir: ¿Prevalece y han sido bien asimilados los
conocimientos matemáticos de la secundaria para que las
personas puedan realizar sus actividades cotidianas en nuestra
sociedad?
¿Qué problemas sencilla son resuelta con los
conocimientos matemáticos que tienen los alumnos al
egresar la secundaria?.

Para contestar a estas interrogantes se realzó
una investigación: Marzo (2001) darse una
prueba de conocimientos a alumnos egresados de educación
secundaria 2000 en base a la currícula. Los resultados
demostraron que los de Educación Secundaria no aplican los
conocimientos matemáticos a la solución de
problemas de la vida diaria, ya que el rendimiento logrado en la
prueba aplicada es deficiente, es decir, los alumnos no saben
efectuar operaciones con
fracciones, ignoran el concepto de
ganancia y costo, no
recuerdan las equivalencias en los sistemas de
medidas, no pueden interpretar correctamente los datos de un plano
arquitectónico, no conocen el concepto de valor relativo
de un número, ni el concepto de órdenes en el
sistema de
numeración decimal y no realizan una lectura
cuidadosa del contenido de lo reactivos.

Debe darse una aplicación a situaciones reales de
trabajo y
otras actividades. Esto es importante para una sociedad que
necesidad desarrollar la capacitación y calificación de sus
miembros.

En base al programa
curricular de matemática, por la entidad norteamericana
"Nacional Council of Teachers pf Mathematics" (NCTM): en base 30
puntos (90 minutos) para evaluar la educación
matemática de los colegios secundarios en lo que se
refiere al manejo de problemas de la vida diaria. Todos estos
puntos figuran en los programas
curriculares vigentes. Presento los más importantes para
la teoría de números.

2. Cálculos: Puede Ud, sumar, restar,
   multiplicar y dividir correctamente números enteros,
   fracciones y decimales.
3. Raíz cuadrada: ¿Puede Ud.
   Encontrar la raíz cuadrada de un número por medio
   de tablas o efectuando la operación?
4. Números relativos: ¿Comprende
   Ud. El significado de números relativos y puede
   usarlos?
5. Fórmula. ¿Sabe Ud. El
   significado de una fórmula y puede Ud. Escribir una
   regla aritmética como si fuera una fórmula, y
   subsistir valores dados en ellas a fin de encontrar el valor de
   uno de sus elementos o una de las
   incógnitas?
6. Aritmética comercial:
   ¿Está Ud. Matemáticamente condicionado
   para una satisfactoria adaptación a un trabajo inicial
   en negocios,
   por ejemplo, tiene idea de cómo llevar una contabilidad
   elemental, cambios, y la aritmética aplicada a los
   problemas más comunes de la vida diaria?.

Ejemplo:

1. 1. (3 + 1/2) ? 5/3 ? 1 : 5/6

      (16,32 ? 0,045) ? 2,5(5,25 + 0,0987
      +0,103)

   2. Dar el resultado con aproximación de
      centésimo de:
   3. Sin realizar la operación
      ¿Cuál es el resultado aproximado de: (14 +
      0,003 + 6) x 9?
2. Efectuar:
3. Si en una granja hay tres patos por cada dos gallinas y
   se sabe que entre patos, patas y gallinas se tiene un total
   de 235 gallinas se tiene un total de 235 gallinas
   ¿Cuántos patos y cuantas gallinas hay?
   1. Escribirlo en su forma
      polinómica
   2. Dar valor relativo de las cifras 4 y
      0
4. Dado el número 46075

De lo anterior podemos "deducir las causas del bajo
rendimiento con respecto a la aplicación de la
teoría de los números, es decir, en
matemáticas general".

2. La carencia de integración de la matemática que,
   casi siempre, se enseña como una disciplina
   independiente.
3. Una enseñanza mecánica que no procura un aprendizaje
   experimental activo seguido de una organización educativa del conocimiento
   adquirido.
4. La presión
   por el cumplimiento de posprogramas, por los exámenes y
   su calificación, que obliga al profesor a
   abordar nuevos temas sin haber realizado el número
   suficiente de aplicaciones y de trabajos prácticos que
   aseguren el aprendizaje
   de todo el alumnado.
5. El descuido de las diferencias individuales en la
   enseñanza matemática. No todos los alumnos
   aprenden el mismo ritmo.
6. La insuficiente preparación de los alumnos
   para interpretar correctamente la lectura
   de los problemas propuestos.

• No debe olvidarse que uno de los principales objetivos de
  la enseñanza matemática es la formación
  del pensamiento
  abstracto y de la capacidad deductiva, en tal sentido la
  terminología del método
  axiomático y el empleo de
  las propiedades debe incorporarse a la experiencia personal del
  alumnado.
• 6) No descartamos el contenido curricular
  actual porque es razonable para la aplicación
  cotidiana.

7) Las necesidades de un libro o proyecto la
teoría correcta y práctica que le de valor de
matemática ala teoría de números: "N", "Z":
es decir aportar ideas para el aula, métodos y formas de
presentación, secuencialización y
fundamentación de los contenidos aritméticos. Por
lo tanto integrar esta parte de teoría de números
al proceso de
renovación educativa, en calidad
pragmática y científica.

3.2 DISEÑO CURRICULAR BÁSICO

3.2.1 Primer Grado de Secundaria

Conjuntos

1. Noción de conjunto. Pertenencia
2. Inclusión e igualdad
3. Conjuntos: Referencial, vacío y
   unitario
4. Unión, intersección, diferencia de
   conjuntos
5. Producto cartesiano de conjuntos
6. Noción de función y
   operación

3.2.2 El sistema N, de los números
naturales

1. Los números naturales
2. Igualdad
3. Adición, propiedades
4. Relaciones menor y mayor
5. La ecuación x + a = b. sustracción,
   propiedades
6. Multiplicación, propiedades, múltiplo y
   submúltiplo
7. Potenciación. Propiedadades.
8. Sistema de numeración decimal.
9. División Propiedades
10. Sistema de numeración decimal.
11. División propiedades
12. La división Euclidiana
13. Divisibilidad, números primos y
    compuestos
14. Criterios de divisibilidad
15. Máximo divisor y mínimo común
    múltiplo
16. Ecuaciones e inecuaciones

3.2.3 El sistema Z, de los números
enteros

2. Igualdad
3. Adición, propiedades
4. Opuesto de un número entero
5. La ecuación x + a = b
6. Relaciones menor y mayor
7. Valor absoluto
8. Sustracción, propiedades
9. Multiplicación, propiedades
10. Potenciación, propiedades
11. División
12. Radicación
13. Desigualdades, propiedades
14. Ecuaciones e inecuaciones

3.2.4 Sistema Q, de los números
racionales

2. Números racionales
3. Igualdad
4. Adición
5. Opuesto de un número racional
6. Valor absoluto
7. La propiedad de densidad.
8. Multiplicación, propiedades
9. Inverso de un número racional
10. La propiedad distributiva.
11. Sustracción y división,
    propiedades
12. Potenciación con exponente entero.
13. Expresión decimal de un número
    racional
14. Expresiones decimales periódicas y
    números racionales.
15. Generatriz de una expresión decimal
    periódica
16. Ecuaciones e inecuaciones

3.2.5 El sistema R, de los números
reales

1. Expresiones decimales no periódicas y
   números irracionales. Numéricas
2. Igualdad
3. Adición, propiedades
4. Relaciones menor y mayor. Propiedades
5. Valor absoluto
6. La recta real
7. Multiplicación. Propiedades
8. Inverso de un número real.
9. La propiedad distributiva
10. Sustracción y división.
    Propiedades
11. Potenciación. Propiedades
12. Desigualdades
13. Ecuaciones e inecuaciones
14. Radicación, Razones y proporciones
    aritméticas y geométricas.
15. Porcentaje
16. Regla de tres, de interés y de
    mezcla.

3.2.6 Polinomio

2. Monomios y polinomios. Grado de un
   polinomio.
3. Adición y sustracción de
   polinomios.
4. Productos notables.
5. Multiplicación y división de
   polinomios. División sintética.
6. Cocientes notables
7. Casos de factorización.
8. Ecuaciones lineales y cuadráticas.

4. PROPUESTAS PEDAGÓGICAS

4.1 ESTILOS DE ENSEÑANZA:

La matemática como actividad posee una
característica fundamental: La Mate- matización.
Mate matizar es organizar y estructurar la información que aparece en un problema,
identificar los aspectos matemáticos relevantes, descubrir
regularidades, relaciones y estructuras.

Según Treffer hay dos formas de
matematización: La matematización horizontal y la
matematización vertical.

La Matematización Horizontal: Nos lleva del mundo
real al mundo de los símbolos y posibilita tratar
matemáticamente un conjunto de problemas.

La Matematización Vertical: Consiste en el
tratamiento específicamente matemático de las
situaciones.

4.2 CONSTRUCTIVISMO:

Para el estructuralismo, la matemática es una
ciencia
lógico deductiva y ese carácter es el que debe informar la
enseñanza de la misma.
El estilo estructuralista basa sus raíces
históricas en la enseñanza de la geometría y en la concepción de la
matemática como logro cognitivo caracterizado por ser un
sistema deductivo cerrado y fuertemente organizado.

Según este modelo a los
alumnos se les debe enseñar la matemática como un
sistema bien estructurado, siendo además la estructura del
sistema la guía del proceso de aprendizaje. Ese fue y
sigue siendo el principio fundamental de la reforma conocida con
el nombre de Matemática Moderna y cuyas consecuencias
llegan hasta nuestros días. El estilo estructuralista
carece del componente horizontal pero cultiva en sobremanera la
componente vertical.

4.3 MECANICISMO:

El estilo mecanicista se caracteriza por la
consideración de la matemática como un
reglas.

A los alumnos se les enseña las reglas y ellos
deben aplicarlas a los problemas que son similares a los ejemplos
previos.

Raramente se parte de problemas reales o cercanos
conjunto de al alumno, más aún, se presta poca
atención a las aplicaciones como origen de
los conceptos y procedimientos, y
se da mucha importancia a la memorización y automatización de algoritmos de
uso restringido. Ayuda en las operaciones aritméticas y
algebraicas.

4.4 EMPIRISMO:

Alumnos adquieren experiencias y contenidos Toma como
punto de partida la realidad cercana al alumno, lo concreto. La
enseñanza es básicamente utilitaria, los
útiles, pero carece de profundización y
sistematización en el aprendizaje. El empirismo
está enraizado profundamente en la educación
utilitaria inglesa.

Según este modelo los alumnos aprenden mas cuando
se trata de conocimientos que aplica en la realidad. como la
aritmética, la geometría,
etc.

4.5 REALISTA:

El estilo parte así mismo de la realidad,
requiere de matematización horizontal, pero al contrario
que en el empirista se profundiza y se sistematiza en los
aprendizajes, poniendo la atención en el desarrollo de
modelos,
esquemas, símbolos, etc.

El principio didáctico es la
reconstrucción o invención de la matemática
por el alumno, así, las construcciones de los alumnos son
fundamentales. Es una enseñanza orientada
básicamente a los procesos.

4.6 LA RESOLUCIÓN DE
PROBLEMAS: 

La heurística tenía por objeto el estudio
de las reglas y de los métodos de descubrimiento y de la
invención. La heurística moderna, inaugurada por
Polya (1945) trata de comprender el método que conduce a
la solución de problemas, en particular las operaciones
típicamente útiles en este proceso.

¿Qué es un problema?

Polya lo definió: Tener un problema significa
buscar de forma consciente una acción
apropiada para lograr un objetivo
claramente concebido pero no alcanzable de forma
inmediata.

Krulik y Rudnik: Un problema es una situación,
cuantitativa o de otra clase, a la que se enfrenta un individuo o un
grupo, que requiere solución, y para la cuál no se
vislumbra un medio o camino aparente y obvio que conduzca a la
misma

4.7 UN PROBLEMA DEBE SATISFACER:

• Aceptación. El individuo o grupo, debe aceptar
  el problema, debe existir un compromiso formal, que puede ser
  debido a motivaciones tanto externas como internas.
• Bloqueo. Los intentos iniciales no dan fruto, las
  técnicas habituales de abordar el
  problema no funcionan.
• Exploración. El compromiso personal o del
  grupo fuerzan la exploración de nuevos métodos
  para atacar el problema.

5. El proceso de resolución de un
problema

Para Geoge Polya (1945), la resolución de un
problema consiste, a grandes rasgos, en cuatro fases bien
definidas:

Comprender el problema

¿Cuál es la incógnita?

¿Cuáles son los datos?

Concebir un plan

¿Se ha encontrado con un problema
semejante?

¿Conoce un problema relacionado con
este?

¿Podría enunciar el problema de otra
forma?

¿Ha empleado todos los datos?

Ejecutar un plan

¿Son correctos los pasos dados?

Examinar la solución obtenida

¿Puede verificar el resultado?

¿Puede verificar el razonamiento?

Las fases anteriores caracterizan al resolutor ideal,
competente. Cada fase se acompaña de una serie de
preguntas, al puro estilo socrático, cuya intención
clara es actuar como guía de la hacino. Los trabajos de
Polya, se pueden considerar por lo tanto, como un intento de
escribir la manera de actuar de un resolutor ideal.

Una pregunta, ¿Por qué es tan
difícil entonces, para la mayoría de los alumnos,
la resolución de problemas de
matemáticas?

Los trabajos de Schoenfeld (1945), son por otro lado, la
búsqueda inagotable de explicaciones para la conducta de los
resolutotes reales de problema: Propone un marco con cuatro
componentes que sirva para el análisis de la complejidad
del comportamiento
en la resolución de problemas.

Recursos cognitivos: conjunto de hechos y procedimientos
a disposición del resolutor.

Heurísticas: reglas para progresar en situaciones
dificultosas.

Control: aquello que permite un uso eficiente de los
recursos
disponibles.

Sistema de creencias: Nuestra perspectiva con respecto a
la naturaleza de
la matemática y como trabajar en ella.

Cada uno de tales componentes explica las carencias, y
por lo tanto, el poco el poco éxito
en al resolución de problemas de los resolutotes reales.
Así, cuando a pesar de conocer las heurísticas no
se sabe cuál utilizar o cómo utilizarla se
señala la ausencia de un buen control o gestor
de los recursos disponibles. Pero las heurísticas y un
buen control no son suficientes, pues puede que el resolutor no
conozca un hecho, algoritmo p
procedimiento
específico del dominio
matemático del problema en cuestión. En este caso
se señala la carencia de recursos cognitivos como
explicación al intento fallido en la
resolución.

Por otro lado, puede que todo lo anterior esté
presente en la mente del resolutor, pero sus creencias de lo que
es resolver problemas en matemáticas o de la propia
concepción sobre la matemática haga que no progrese
en la resolución. La explicación, para este fallo,
la contempla Schoenfeld en el cuarto elemento el marco
teórico, las creencias.

Por último están las heurísticas.
La mayor parte de las veces se carece de ellas. Se dispone de
conocimientos específicos del tema o dominio
matemático del problema, incluso de un buen control pero
falla el conocimiento de reglas para superar las dificultades en
la tarea de resolución.

Las heurísticas son las operaciones mentales
típicamente útiles en la resolución de
problemas, son como reglas o modos de comportamiento que
favorecen el éxito en el proceso de resolución,
sugerencias generales que ayudan al individuo grupo a comprender
mejor el problema y a hacer progresos hacia su
solución.

Existe una amplia, posiblemente incompleta, lista de
heurísticas. Entre las más importantes
cabría citar:

Buscar un problema relacionado.

Resolver un problema similar más
sencillo.

Dividir el problema en partes.

Considerar un caso particular.

Hacer una tabla.

Buscar regularidades.

Empezar el problema desde atrás.

Variar las condiciones del problema.

Sin embargo, como bien ha señalado Puig (1996),
en la lista anterior aparecen demasiadas cosas juntas, que son,
por otro lado, diferentes si las sometemos a un detenido
análisis.

Buscar un problema relacionado es una sugerencia
heurística, pues se señala una dirección de trabajo, y sobre todo se
recurre a la memoria del
resolutor, y no a un procedimiento concreto para buscar tal
problema.

Considerar un caso sí se refiere a un
procedimiento en concreto que permite, a partir del problema
dado, formular un problema relacionado con él Puig (1996)
denomina a este tipo de procedimientos, independientes del
contenido y que permiten transformar el problema dado en otro,
con el nombre de herramientas
heurísticas. (Tal observación parte de una nota marginal de
Polya) (Polya, 1962 vol 2 p.84))

Por último, hacer una tabla se podría
considerar como una destreza al no poseer el carácter de
transformar el problema ni al recurso de la memoria como en
el caso de las sugerencias heurísticas.

La característica más importante del
proceso de resolución de un problema es que, por lo
general, no es un proceso paso-a-paso sino más bien un
proceso titubeante.

En el proceso de resolución, Schoenfeld ha
señalado que tan importante como las heurísticas es
el control de tal proceso, a través de decisiones
ejecutivas. Tales decisiones son acerca de qué hacer en un
problema. La característica más importante que
define a las decisiones ejecutivas y a las acciones de
control, es que tienen consecuencias globales para la evolución del proceso de resolución
de un problema.

Las decisiones ejecutivas determinan la eficiencia de los
conocimientos y recursos de todo tipo puestos en servicio para
la resolución del problema.

Son decisiones ejecutivas:

• Hacer un plan
• Seleccionar objetivos centrales y
  subobjetivos
• Buscar los recursos conceptuales y heurísticos
  que parecen adecuados para el problema
• Evaluar el proceso de resolución a medida que
  evoluciona
• Revisar o abandonar planes cuando su evaluación indica que hay que
  hacerlo.

Las anteriores son decisiones ejecutivas tal y como se
usa ese término en Inteligencia
Artificial, son equivalentes a las decisiones de gestión
en el campo de los negocios, o decisiones de táctica y
estrategia en el
campo militar. El término metacognición se ha usado en la literatura
psicológica en la discusión de fenómenos
relacionados con el que aquí tratamos.

Son por tanto, decisiones acerca de qué caminos
tomar, pero también acerca de qué caminos no
tomar.

Cuanto más precisas sean las respuestas a las
preguntas:

¿Qué estoy haciendo?

¿Por qué lo hago?

¿Para qué lo hago?

¿Cómo lo usaré
después?

Lo mejor será el control global que se tenga
sobre el problema y sobre las decisiones que conducen a su
solución.

La ausencia de decisiones ejecutivas y de control suele
tener efectos desastrosos en el proceso de resolución de
un problema. La mayor parte de las veces en que se fracasa en la
resolución de un problema es debido a que, la persona que
afronta el problema, no dispone de un plan de
solución.

Pero hay otras actitudes que
imposibilitan la toma de buenas decisiones durante la fase de
resolución. Entre ellas cabe destacar:

• Inflexibilidad para considerar
  alternativas.

Cuando una y otra vez faltan los procedimientos
empleados no hay más salida que cambiar de perspectiva
para salir del bloqueo.

• Rigidez en la ejecución de
  procedimientos.

Más de una vez intentaremos encajar un
procedimiento conocido en una situación en la que no es
aplicable. Nuestra obstinación es debida al simple hecho
de que nos parece apropiado a primera vista, o porque la
situación, aunque distinta, se parece a aquella en que el
procedimiento fue eficaz.

• Incapacidad de anticipar las consecuencias de una
  acción.

Al respecto cabe hacerse siempre la siguiente pregunta
antes de ejecutar una acción pensada: Cuando haya
ejecutado lo que pienso ¿qué consecuencias
tendrá para la resolución del problema?

• El efecto "túnel".

Se produce cuando la ejecución de una tarea es
tan absorbente que no hay energías disponibles para la
evaluación de lo que se está realizando. Suele
darse más fácilmente cuanto más embebido se
está en la ejecución de una
acción.

Miguel de Guzmán partiendo de las ideas de Polya,
Mason et al. (Mason, Burton y Stacey, 1998) y de los trabajos de
Schoenfeld ha elaborado un modelo para la ocupación con
problemas, donde se incluyen tanto las decisiones ejecutivas y de
control como las heurísticas. La finalidad de tal modelo
es que la persona examine y remodele sus propios métodos
de pensamiento de forma sistemática a fin de eliminar
obstáculos y de llegar a establecer hábitos
mentales eficaces, en otras palabras, lo que Polya
denominó como pensamiento productivo.

Un modelo para la ocupación con problema (Miguel
de Guzmán, 1991, p.80)

Familiarízate con el problema.

Trata de entender a fondo la situación

Con paz, con tranquilidad a tu ritmo

Juega con la situación, enmárcala, trata
de determinar el aire del
problema, piérdele el miedo.

Búsqueda de estrategias.

Empieza por lo fácil

Experimenta

Hazte un esquema, una figura, un diagrama

Escoge un lenguaje adecuado, una notación
apropiada

Busca un problema semejante.

Inducción.

Supongamos el problema resuelto

Supongamos que no.

Lleva adelante tu estrategia

Selecciona y lleva adelante las mejores ideas que se te
han ocurrido en la fase anterior.

Actúa con flexibilidad. No te arrugues
fácilmente. No te emperres en una idea. Si las cosas se
complican demasiado hay otra vía.

¿Salió? ¿Seguro? Mira a
fondo tu solución.

Revisa el proceso y saca consecuencias de
él.

Examina a fondo el camino que has seguido.
¿Cómo has llegado a la solución? O bien,
¿por qué no llegaste?

Trata de entender no sólo que la cosa funciona,
sino por qué funciona.

Mira si encuentras un camino más
simple.

Mira hasta dónde llega el
método.

Reflexiona sobre tu propio proceso de pensamiento y saca
consecuencias para el futuro.

6. Propuesta: Resolución de
problemas

"En la enseñanza de las matemáticas
escolares se debe poner el enfoque en la resolución de
problemas"

National Council of Teachers of
Mathematics (NCTM)

Tenemos tres maneras de interpretar lo
anterior:

1. Enseñar para resolver problemas

1. Proponer a los alumnos mas problemas ("llenarles de
   problemas")
2. Emplear aplicaciones de los problemas a la vida
   diaria y las ciencias.
3. Dar problemas que promuevan la investigación
   (de qué otra manera puedo resolver el MCD)

1. Enseñar sobre la resolución de
   problemas

1. El objetivo es que los alumnos lleguen a aprender y a
   utilizar estrategias para la resolución de problemas
   (explicar detalladamente y darles pautas, métodos,
   etc.)

1. Enseñar vía resolución de
   problemas

1. Enseñar matemáticas a través de
   problemas para:

• Desarrollar la capacidad de
  razonamiento.
• Aplicar la teoría previamente
  expuesta.
• Resolver cuestiones que la vida diaria
  plantea.

Una propuesta didáctica

"Nuestras creencias sobre qué es
matemática influye en la forma en que la
enseñamos"

Mecanicismo:

Transmitir conocimiento acabado, abstracto y de una
manera expositiva. Define, en abstracto y da
procedimientos.

Planteamos una propuesta:

Considerar la matemática como algo en constante
creación. Las estructuras matemáticas se
amplían. Entonces no bastará la exposición. Habrá que hacer
partícipes a los alumnos del propio aprendizaje. Nos
preguntamos ¿cómo?

Respondemos: Dando significado a lo que se
enseña. Hay que convencer a los alumnos de que la
teoría de números (y en general la
matemática) es interesante y no solo un juego para los
más aventajados.

Los problemas y la teoría deben mostrarse a los
estudiantes como relevantes y llenos de significado.

Para los maestros:

Debemos preguntarnos

¿Qué aprenden los alumnos?

¿Cómo enseñamos?

¿Cómo aprenden los alumnos?

Polya en una de sus citas menciona:

"?si pone a prueba la curiosidad de sus alumnos
planteándoles problemas adecuados a sus conocimientos, y
les ayuda a resolverlos por medio de preguntas estimulantes,
podrá despertarles el gusto por el pensamiento
independiente y proporcionarles ciertos recursos para
ello".

7.
Conclusiones

1. La teoría de números no es un estudio
   concluido. Se siguen estudiando muchos aspectos de ella por
   grandes estudiosos.
2. Es importante que se conozcan las propiedades de la
   teoría de números porque constituyen un avance en
   el accionar no sólo racional sino también
   científico del hombre.
3. Un educador debe conocer los aspectos más
   esenciales dentro de la teoría de números. Saber
   que es de vital importancia que sus alumnos adquieran no
   sólo nociones sino conceptos de teoría de
   números.
4. Es trascendental, a su vez, que el profesor maneje
   didácticas bien trabajadas para la aprehensión
   total del alumno.

Bibliografía

Fuente:

Fuente: Portal del Ministerio de
Educación

Fuente: Portocarrero Ochoa, Dora Cristina. Los
conocimientos matemáticos de egresados de educación
secundaria y los problemas humanos que requieren
aplicación matemática.

Fuente: Gómez Alfonso Bernardo. Numeración
y cálculo. Editorial Síntesis

Fuente: www.wikipedia.org

Nombres:

Marlon Agreda Naquiche

Jacqueline Ignacio Arias

Aquiles Chepe Romero

Marco Muñoz Mejía

Luis Ccopa Luque

Ronald Límaco Cusi

Perú, Lima, Ciudad Universitaria, 17 de Julio de
2006